F-比が歪まないための必要十分条件についての証明の歴史

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 反復測定分散分析における F-比が歪まないための条件が何かについ ては、以下の論文の1つである Rouanet and Lepine (1970) によれば、1960年代 までは、帰無仮説のもとで F比が正確な F 分布に従うための条件として、対称性仮定(symmetry assumption) が知られていたが、それ が F 比の正確な F-分布に従うための必要条件なのか十分条件なのかについて、統計 学者の間でさえ定説がなかった。周知のように、反復測定デザインにおける F 比の性 質についての研究としては、Box (1954a, 1954b) の先駆的な研究が知られている:

  1. 多変量仮説検定の1つとしての球形検定(等方性検定)

    Mauchly, J. W. (1940). Significance test for sphericity of a normal n-variate distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 11, 204-209.

  2. 反復測定分散分析の先駆的研究1

    Box, G. E. P. (1954a). Some theorems on quadratic forms applied in the study of analysis of variance problems - I. Effect of inequality of variance in the one-way classification. Annals of Mathematical Statistics, 25, 290-302.

  3. 反復測定分散分析の先駆的研究2

    Box, G. E. P. (1954b). Some theorems on quadratic forms applied in the study of analysis of variance problems - I. Effect of inequality of variance and of correlation between errors in the two-way classification. Annals of Mathematical Statistics, 25, 484-498.

  4. Box のイプシロンの拡張

    Greenhouse, S. W., and Geisser, S. (1958). An extension of Box's results on the use of the F distribution in multivariate analysis. The Annals of Mathematical Statistics, 29, 885-891.

  5. (1ステップ)多標本球形検定

    Sugiura, N., and Nagao, H. (1968). Unbiasedness of some test criteria for the equality of one or two covariance matrices. The Annals of Mathematical Statistics, 39, 1686-1692.

  6. F-比の歪まぬための必要十分条件の証明1

    Huynh, H., and Feldt, L. S. (1970). Conditions under which mean square ratios in repeated measurements designs have exact F-distributions. Journal of the American Statistical Association, 65, 1582-1589.

  7. F-比の歪まぬための必要十分条件の証明2

    Rouanet, H., and L\'epine, D. (1970). Comparison between treatments in a repeated-measurement design: ANOVA and Multivariate methods. The British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, 23, 147-163.

  8. (2ステップ)多標本球形検定

    Mendoza, J. L. (1980). A significance test for multisample sphericity. Psychometrika, 45, 495-498.

  9. 多変量球形検定1

    Thomas, D. R. (1983). Univariate repeated measures techniques applied to multivariate data. Psychometrika, 48, 451-464.

  10. 多変量球形検定2

    Boik, R. J. (1988). The mixed model for multivariate repeated measures: Validity conditions and an approximate test. Psychometrika, 53, 469-486.

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