(C)1996 KYUMA,Eido これは『Ｑ ＆ Ａ 数学基礎論入門, 共立出版, 久馬栄道著』1995年９月初版から 1996年９月以降刷への訂正箇所です. 全体としては膨大な量ですから お急ぎの方は頭に『重要』とついている部分のみ の変更お願いします. なお x^y は『x の y 乗』の意味とします. 1996年１０月７日 久馬栄道 kyuma@dpc.aichi-gakuin.ac.jp ======================================================================= iページ 下から2,3行目 iiページ3,8,9行目, …文科系… iiページ 下から17行目, …30秒以上止まる… 重要, iiページ 下から3行目, …梅沢敏郎先生と… (梅沢先生すみませんでした) iiページ 下から2行目, …身を以って… 重要, viiiページ 6,11,23行目, …直観主義論理… viiiページ 下から1行目, 索引 18ページ 2行目, ←→ 方程式を満たす x の値は -1 と 3 20ページ 下から7行目, …この際『インターセクション』… 21ページ 3行目, …ではないのである). やや重要, 23ページ 下から8行目, の公理(axiom of extensionarity)と… 重要, 28ページ 7,11,15行目, …(x^n + y^n = z^n)… 重要, 35ページ 11行目, …2倍して1加えた… 35ページ 16行目, …移る方法から収束する等比級数の… 37ページ 11,12行目, …その数自身を対応させ, 0 より大ではその数に… 41ページ 13行目, …死刑は明日から1週間以内に… 41ページ 14行目, …の日をその前日に知ること… やや重要, 43ページ 9行目文末, (もっとも Ｕ∈Ｕ は良くない性質という 程度のもので, パラドックスすなわち矛盾する話[脚注番号13]というには厳しい という説もあるが...). やや重要, 43ページ 脚注, 13 後で説明する公理的集合論に存在する∈に関する 帰納法を認めれば矛盾する. 50ページ 5行目, …そのべき集合が存在… やや重要, 51ページ 下から9行目, …無限の集合(infinite set)… 52ページ 11行目文末, (ただし厳密な証明には後でやる正則性の公理が必要である). 61ページ 15行目, …ワープロの… 65ページ 5〜10行目, (34)…(39)… やや重要, 69ページ 9行目, このような一覧表を… 重要, 69ページ下から2行目, …1 と s2 のところは空欄である. 重要, 69ページ下から1行目, [チューリング機械の状態]s2 72ページ 下から1行目 73ページ 5,9行目, …チューリング機械での計算を行なえ. 重要, 80ページ 下から3行目, …定義できるψも原始… 84ページ 下から10行目, …割り切れないなら』… 85ページ 下から7行目, …となる最小の… 重要, 87ページ 下から3行目, …定義できるψも帰納… 重要, 87ページ 下から2行目, …関数ψがあり, 全ての x1,x2,...,xn において ψ(x1,x2,...,xn,y) = 0 となる y が存在するとき, μy.ψ… 94ページ 1,8行目, …項とするとき… 98ページ 下から4行目, …大事だということである. 100ページ 6行目, … = { x∈Ｎ | n ＞ 0 } … 100ページ 7行目, …∃a∈Ｎ^+ ( n = a × m )… 106ページ 7行目, …作るには定義域を -π/2 ≦ x ≦π/2 としたが, … 106ページ 下から1行目, -1≦ y ≦ 1 とする. ここまでやれば逆関数を持つ(最低) 必要(にして, これだけで)十分(な)条件となる. 111ページ 9行目, この問題の証明… 111ページ 9行目, …と同じ)を用いれば簡単なので, 116ページの… 重要, 115ページ 正則性の公理の証明を次のように変更 ------------------------------------------------------------------------ 　さて上記の∈に関する帰納法の A(x) を ¬(x∈a) とし, x を z に変更す ると, ∀z(∀y∈z ¬(y\in a) → ¬(z∈ a)) → ∀ z¬(z∈a) となる. 13ページと16ページで示した対偶 (A → B) ←→ (¬B → ¬A), (A → ¬B) ←→ (B → ¬A) を用いると, ¬∀z ¬(z∈a) → ¬∀z((z∈a) → ¬∀y∈z¬(y∈a)) となる. 153ページのド・モルガンの法則 ¬∀xA(x) ←→ ∃x¬A(x) と 147ページの問題6 ¬¬A ←→ A を用いると ∃ z(z∈a) → ¬∀z((z∈a) → ∃y∈z (y∈a)) となる. 　これの ∃z(z∈a) は ¬(a = φ) と同じとなることはよいであろう. ¬∀z((z∈a) → ∃y∈z(y∈a)) すなわち ¬∀z∈a∃y∈z(y∈a) は153ページ のド・モルガンの法則を用いると ∃z∈a¬∃y∈z(y∈a) となり, これは ∃z∈a(a∩z = φ) と同じになる. a はどのような集合をもってきてもよい ことをあわせ考えると, 上式はまさしく正則性の公理となる. 　なお今の証明で用いた対偶, ド・モルガンの法則, 147ページの問題6など は後で展開する NK で証明できるが, この NK は現在の(普通の)数学を展開 するときに用いている論理と同じものなので, 用いて良いものとする. ------------------------------------------------------------------------ 重要, 116ページ 下から３行目から117ページ ２行目を次のように変更 ------------------------------------------------------------------------ 　さてωの作り方よりωの 0 でない元 x について x = s(y) となる y が存 在する. すると性質の(1)より m は 0 ではないので m = s(m') となる m' が 存在する. 　m = m' ∪ {m'} より m'∈m である. M ∩ m =φ なので ¬(m'∈M) と なり A(m') となる. すると性質(2)より A(m) も成立して矛盾する. ------------------------------------------------------------------------ 重要, 118ページ 下から2行目, …0 ≦ aii ＜ 9 の場合 重要, 120ページ 1行目, …背理法より Power(ω)… やや重要, 122ページ, [2・ωをω・2に変更][3・ωをω・3に変更] [n・ωをω・nに変更] 128ページ 下から4行目, ∀n∈Ｎ^+ … 重要, 128ページ 下から4,2行目, …¬(x^n + y^n = z^n)… 129ページ 下から7行目, …あとのシーケント推論など… 重要, 135ページ ２行目の証明図を次のように変更 (Ａ→Ｃ)∧(Ｂ→Ｄ) ------------------ Ｂ→Ｄ Ｂ ------ ------------------------ Ｄ→Ｆ Ｄ ---------------------------------- Ｆ やや重要, 137ページ 2行目, …束縛されている(bound)… 重要, 142ページ 下から15行目, …直観主義論理… 142ページ 下から10行目, …花文字(ラテン文字という説もあるが)は I と J との 区別がないからだそうである. … 重要, 143ページ 6行目, …と直観主義論理と… 144ページ 8行目, …忘れた人は135ページを… 重要, 146ページ 下から15,11,8,5,4行目 150ページ 11,15行目, …直観主義論理… 152ページ 下から10行目, …になる最小の… 重要, 153ページ 13行目, 直観主義論理… 重要, 153ページ 9行目, (¬A → ¬B) ←→ (B → A) 対偶 やや重要, 156ページ 一番下に追加 ------------------------------------------------------------------------ 　そしてこれらの変換を次々と行ない, もはや変換出来なくなったものが存 在すれば, それをもとの証明図の標準形ということにする. ------------------------------------------------------------------------ 161ページ 10行目, …『シーケント推論』… 163ページ 4行目文末, …(ただし, この推論は後で厳密に定義するものとは 少し異なる). 重要, 163ページ 下から6行目, …どれかが正しいと… 重要, 163ページ 下から2行目, …どれかが正しいと… 164ページ 1行目, …使ってよさそうである… 164ページ 3行目, …(なお, これも… 重要, 164ページ 下から10行目, …『A1,A2,...Am をすべて仮定すれば B1,B2,...,Bn のうちどれかが正しい』… 165ページ 下から11行目左側の推論規則を変更 Θ ⇒ Γ,Ａ,Ｂ,Δ ----------------- Θ ⇒ Γ,Ｂ,Ａ,Δ 166ページ 下から12,8行目, [4ヶ所にある Weak を Weakenning に変更] 重要, 166ページ 下から5行目の推論規則を変更 Θ1 ⇒ Γ1,Ａ Ａ,Θ2 ⇒ Γ2 ------------------------------- Θ1,Θ2 ⇒ Γ1,Γ2 重要, 166ページ 下から１行目の推論規則を変更 Ａ,Δ ⇒ Θ Ｂ,Δ ⇒ Θ (∧：Ｌ)--------------- (∧：Ｌ)--------------- Ａ∧Ｂ,Δ ⇒ Θ Ａ∧Ｂ,Δ ⇒ Θ 重要, 167ページ 4行目の推論規則を変更 Δ ⇒ Θ,Ａ Δ ⇒ Θ,Ｂ (∨：Ｒ)--------------- (∨：Ｒ)--------------- Δ ⇒ Θ,Ａ∨Ｂ Δ ⇒ Θ,Ａ∨Ｂ 167ページ 5行目, …推論規則は… 重要, 167ページ 9行目の推論規則を変更 Θ1 ⇒ Γ1,Ａ Ｂ,Θ2 ⇒ Γ2 (→：Ｌ)----------------------------------- Ａ→Ｂ,Θ1,Θ2 ⇒ Γ1,Γ2 重要, 167ページ 下から3行目の右の推論規則の名前を変更, (¬：Ｒ) 重要, 168ページ 2行目の証明図を変更 Ａ ⇒ Ａ ----------------------- Ａ ⇒ Ａ∨¬Ａ ----------------------- ⇒ Ａ∨¬Ａ,¬Ａ ----------------------- ⇒ Ａ∨¬Ａ,Ａ∨¬Ａ ----------------------- ⇒ Ａ∨¬Ａ 重要, 169ページ 7行目, …直観主義論理… 169ページ 下から1行目, …証明するためには NJ の標準形を作ることに… 170ページ 3行目, ３段論法除去定理　どのような LK,LJ の証明図を持ってきても, 一番下のシーケントはそのままで３段論法のない証明図を作ることができる. 171ページ 下から2行目, …リーマンたちはユークリッド幾何学に現れる… 173ページ 下から3行目, … Foundations of … 重要, 174ページ 2行目, [書名]The Consistency of the Cntinuum … 174ページ, 13行目, … Introduction to …